¿Cuántas combinaciones de tableros hay en el ajedrez?

6/Jun/24

No se sabe aún con exactitud cuántas combinaciones de tableros o cuantas posiciones diferentes puede haber en el ajedrez, sin embargo, se han hecho estimaciones, una de las primeras fue hecha por Shannon en 1950, mencionando que el número máximo es de 64!/32!(8!)²(2!)⁶, aproximadamente 10⁴³, es decir un uno con 43 ceros a la derecha. Por su parte Tromp, quien su estudio se menciona más adelante, menciona estadísticamente que hay un total de (4.59 +-0.38)*10⁴⁴ posibles posiciones con un 95% de confianza.

Para llegar a una aproximación más exacta se puede partir del hecho de que el número máximo de posiciones es de 13⁶⁴, considerando que cada cuadro del ajedrez puede tener una de 12 piezas (peón, rey, dama, torre, alfil o caballo ya sean blancas o negras) o puede estar vacía. De ahí hay que quitar todas las opciones que no son posibles, algunas consideraciones a tener en cuenta son:

• No puede haber más de un rey de cada color, 9 reinas (suponiendo que haya habido 8 peones coronados), 10 alfiles, 10 caballos o 10 torres, ni más de 8 peones.
• En caso de que haya habido piezas coronadas, no pudo haber más de 8 de cada color, es decir, por ejemplo, no podría haber 6 torres y 7 caballos del mismo color.
• No pueden estar los reyes juntos.
• No pueden estar ambos reyes en jaque.
• No puede haber dos peones en la misma columna y que estén completas las piezas del contrincante, dado que el peón solo se puede mover hacia otra columna siempre y cuando haya capturado una pieza enemiga. De igual forma, por cada peón que no se encuentre en su columna, debe haber una pieza menos del contrincante.
• Por último, habrá otras posiciones que se tenga que evaluar si es posible llegar a ellas, por ejemplo, no podrían estar todos los peones blancos en la fila B del tablero y alguna pieza negra, diferente del caballo, en la fila A del tablero.

Shannon partió de que la forma de representar el tablero de ajedrez es poniendo un número en cada posición del tablero, que indicaba la pieza que se encontraba ahí, de esa forma se puede identificar numéricamente la posición de cada tablero, e incluso, computacionalmente así es como se identifica la posición de un tablero de ajedrez. De esta forma, Shannon indicó que las celdas vacías se pueden interpretar con un cero (0), las piezas blancas con números positivos y las piezas negras con números negativos, el 1 es para el peón, el 2 para el caballo, el 3 para el alfil, el 4 para la torre, el 5 para la dama y el 6 para el rey, de modo que para las piezas negras, el peón utiliza el -1, el caballo el -2, etc. De esta forma se pueden representar todas las posiciones, incluyendo muchas inválidas con 13⁶⁴ posiciones máximo, aproximadamente 1.96 * 10⁷¹. Pero como él mismo lo dice es para poder identificar cada tablero de forma práctica, no tanto para que haya menos cantidad de tableros de donde partir.

Otra forma de hacer una representación de cada tablero es representar la posición de cada rey al principio, usando un número del 1 al 64 y las demás no necesariamente cada uno de los cuadros según sus coordenadas, sino cada uno de los cuadros de izquierda a derecha, de arriba a abajo, sin tomar en cuenta la posición del rey. Esta cantidad de posiciones, nos da un total de 64 para el primer rey, 64 para el segundo rey y 11 posibles piezas para cada una de las 62 celdas restantes, lo cual nos da un total de 62¹¹ * 64 * 64, lo que nos da un total aproximado de 1.51 * 10⁶⁸, y todavía es posible reducirlo un poco más, utilizando la posición del segundo rey, en función de la posición del primer rey, con un total de 62¹¹ * 64 * 63, que nos da un total aproximado de 1.49 * 10⁶⁸.

Por medio de una representación de tableros, Tromp, realizó algunos cálculos estadísticos del porcentaje de tableros que son legales e ilegales, obteniendo con números aleatorios alrededor de 3% de tableros legales. Como resultado de este estudio, Tromp determina que el número de tableros es de alrededor de (4.59 +-0.38)*10⁴⁴ con un 95% de confianza.

Referencias

1: Shannon, Claude E.
Programming a Computer for Playing Chess.
Philosophical Magazine, Ser. 7, Vol. 41, No. 314
Marzo 1950

2: Tromp, John (2021)
Chess Position Ranking
Visitado el 6 de Junio de 2024.